Apa itu “Logika Matematika”?
Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian logika matematis dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.
Terdapat juga Hukum Logika seperti yang dibawah ini :
1. Hukum komutatif
o p ∧ q ≡ q ∧ p
o p ∨ q ≡ q ∨ p
2. Hukum asosiatif
o (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
o (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
3. Hukum distributif
o p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
o p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
4. Hukum identitas
o p ∧ B ≡ p
o p ∨ S ≡ p
5. Hukum ikatan
o p ∧ S ≡ S
o p ∨ B ≡ B
6. Hukum negasi
o p ∧ ~p ≡ S
o p ∨ ~p ≡ B
7. Hukum negasi ganda
o ~(~p) ≡ p
8. Hukum idempotent
o p ∧ p ≡ p
o p ∨ p ≡ p
9. Hukum De Morgan
o ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
o ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
10. Hukum penyerapan
o p ∧ (p ∨ q) ≡ p
o p ∨ (p ∧ q) ≡ p
11. Negasi B dan S
o ~B ≡ S
o ~S ≡ B
12. p → q ≡ ~p ∨ q
13. p ↔ q ≡ (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)
SIMBOL SIMBOL YANG TERDAPAT DI DALAM LOGIKA MATEMATIKA
A. Arti simbol
1. 1. Nama : Konjungsi
Simbol : ∧
Cara Baca : p ∧q dicaca “p dan q”
Apa itu Konjungsi? Konjungsi ialah Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘dan’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p dan q’ yang disebut konjungsi yang dilambangkan dengan “p∧q”.
Nah dari penjelasannya dapat disimpulkan bahwa Konsep konjungsi akan bernilai benar jika dan hanya jika kedua pernyataan (p dan q) benar.
Untuk lebih memahaminya lagi, yuk kita pahami contoh soal dibawah ini :
Budi sudah makan belajar dan makan
Misalkan, untuk dapat diizinkan bermain oleh Ibu, Budi harus memenuhi kondisi di atas. Jika satu saja atau bahkan kedua pernyataan tersebut dilanggar, maka Budi tidak diizinkan untuk bermain.
2. 2. Nama : Disjungsi
Simbol : ∨
Cara Baca : p ∨ q dicaca “p atau q”
Apa itu Disjungsi? Disjungsi ialah Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘atau’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p atau q’ yang disebut disjungsi yang dilambangkan dengan “p ∨ q”.
Nah dari penjelasannya dapat disimpulkan bahwa Konsep disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.
Untuk lebih memahami apa itu Disjungsi yuk kita pahami contoh soal dibawah ini:
Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa
Pernyataan Bandung adalah kota yang terletak di Pulau Jawa adalah benar. Pernyataan Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa adalah salah. Sehingga pernyataan Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa bernilai benar.
Untuk lebih memahaminya lagi, yuk kita pahami contoh soal dibawah ini :
Jika Budi sembuh maka Budi akan sekolah
Jika betul Budi sembuh lalu Budi masuk sekolah, Budi telah melakukan hal yang benar. Namun jika Budi sembuh namun dia tidak masuk sekolah, Budi telah berbuat salah karena mengingkari janjinya. Lalu, bagaimana jika Budi belum sembuh? Perhatikan bahwa Budi hanya berjanji masuk sekolah jika dia sembuh. Akibatnya jika dia masih belum sembuh, tidak masalah bagi Budi untuk masuk sekolah ataupun tidak karena dia tidak melanggar janjinya.
3. 3. Nama : Implikasi
Simbol : →
Cara Baca : p → q dibaca “jika p maka q”
Apa itu Implikasi? Implikasi bisa dipandang sebagai hubungan antara dua pernyataan di mana pernyataan kedua merupakan konsekuensi logis dari pernyataan pertama. Implikasi ditandai dengan notasi ‘⟹’. Misalkan p, q adalah pernyataan, implikasi berikut p ⟹ q dibaca “jika p maka q”
Nah dari penjelasannya dapat disimpulkan bahwa Konsep implikasi akan bernilai salah jika dan hanya jika sebab bernilai benar namun akibat bernilai salah. Selain itu implikasi bernilai benar.
Untuk lebih memahaminya lagi, yuk kita pahami contoh soal dibawah ini :
Jika Budi sembuh maka Budi akan sekolah
Jika betul Budi sembuh lalu Budi masuk sekolah, Budi telah melakukan hal yang benar. Namun jika Budi sembuh namun dia tidak masuk sekolah, Budi telah berbuat salah karena mengingkari janjinya. Lalu, bagaimana jika Budi belum sembuh? Perhatikan bahwa Budi hanya berjanji masuk sekolah jika dia sembuh. Akibatnya jika dia masih belum sembuh, tidak masalah bagi Budi untuk masuk sekolah ataupun tidak karena dia tidak melanggar janjinya.
4. 4. Nama : Biimplikasi
Simbol : ↔
Cara Baca : p ↔ q dibaca “p jika dan hanya jika q”
Apa itu Bimplikasi? Biimplikasi ialah Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘jika dan hanya jika’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p jika dan hanya jika q’ yang disebut biimplikasi yang dilambangkan dengan “p ⇔ q”.
Dari penjelasan diatas, dapat ditarik kesimpulan berupa konsep biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah.
Untuk lebih memahami apa itu Biimplikasi yuk kita pahami contoh soal dibawah ini:
Ayah mendapatkan gaji jika dan hanya jika ayah bekerja
Jika ayah mendapatkan gaji maka ayah bekerja dan jika ayah telah bekerja maka ayah akan mendapat gaji. Sebalinya, jika ayah tidak mendapatkan gaji maka ayah sedang tidak bekerja dan jika ayah tidak bekerja maka ayah tidak akan mendapat gaji.
5. 5. Nama : Negasi
Simbol : ~
Cara Baca : ~p dibaca “tidak benar bahwa p”
Yap! Mudah bukan untuk memahami arti dari simbol-simbolnya. Nah setelah kita mempelajari “Hukum Logika” kita lanjut yuk ke “Tabel Kebenaran”.
B. Tabel Kebenaran
Gimana dengan Tabel Kebenaran? Sebenernya Tabel Kbenaran itu merupakan ringkasan dari Hukum Logika saja, simbol ‘B’ bertanda “Benar” dan simbol ‘S’ bertanda “Salah”
Kalian susah untuk menghafalnya? Nih aku ada cara mudah untuk menghafalkan Tabel Kebeneran. Yuk pahami dibawah ini!
· (p∧q) = Benar jika keduanya benar
· (p∨q) = Salah jika keduanya salah
· (p ⟹ q) = salah jika p benar dan q salah
(p ↔ q) =benar jika p dan q benar atau p dan q salah
C. Tautologi dan Kontradiksi
Apa itu Tautologi dan Kontradiksi? Kamu baru dengar ya kata Tautologi dan Kontradiksi atau memang kamu sudah mengetahuinya? Bagi yang belum tau apa itu Tautologi dan Kontradiksi. tenang saja aku akan menjelaskannya, yuk pahami apa itu Tautologi dan Kontradiksi.
1. Tautologi
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
Sedangkan untuk Kontradiksi ialah
2. Kontradiksi
Kontradiksi ialah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan kompenannya.
Contoh soal
1. Diketahui pernyataan-pernyataan p,q dan r. Pernyataan (p ↔ q) ∨r bernilai salah jika....
A. P benar, q benar, dan r benar
B. P benar, q benar, dan r salah
C. P benar,q salah, dan r salah
D. P salah,q salah, dan r benar
E. P salah, q salah. Dan r salah
2. Ingkaran pernyataan “Petani panen beras atau harga beras murah” adalah...
a. Petani panen beras dan harga beras mahal.
b. Petani panen beras dan harga beras murah.
c. Petani tidak panen beras dan harga beras murah.
d. Petani tidak panen beras dan harga beras tidak murah.
e. Petani tidak panen beras atau harga beras tidak murah.
3. Ingkaran dari pernyataan, “ Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah...
a. Semua bilangan prima adalah bilangan genap.
b. Semua bilangan prima bukan bilangan genap.
c. Beberapa bilangan prima bukan bilangan prima.
d. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima.
e. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima
4. Diketahui premis-premis berikut:
1) Jika sebuah segitiga siku-siku maka salah satu sudutnya 90 derajat.
2) Jika salah satu sudut 90 derajat maka berlaku teorema Phytagoras.
Ingkaran dari kesimpulan yang sah pada premis-premis di atas adalah...
a. Jika sebuah segitiga siku-siku maka berlaku teorema Phytagoras
b. Jika sebuah segitiga buka siku-siku maka berlaku teorema Phytagoras
c. Sebuah segitiga siku-siku atau tidak berlaku teorema phytagoras.
d. Sebuah segitiga siku-siku dan tidak berlaku teorema Phytagoras.
e. Sebuah segitiga siku-siku dan berlaku teorema Phytagoras.
5. Kontraposisi dari ( ~p ⇒ q ) ⇒ ( ~p ˅ q ) adalah ...
a. ( p ˄ q ) ⇒ ( p ⇒ ~q )
b. ( p ⇒ ~q ) ⇒ ( p ⇒ ~q )
c. ( p ⇒ ~q ) ⇒ ( p ⇒ q )
d. ( ~p ⇒ ~q ) ⇒ ( p ˄ ~q )
e. ( p ˄ ~q ) ⇒ ( ~p ˄ ~q )
Pembahasan
1. 1. (p ↔ q) ∨r
(B ↔ B) ∨B = benar
(B ↔ B) ∨S = benar
(B ↔ S) ∨S = salah
(S ↔ S) ∨B = benar
(S ↔ S) ∨S = benar
Jawaban ; C
2. 2. Misalkan:
p = petani panen beras
q = harga beras murah
Soal di atas menjadi: p ˅ q
Ingat rumus berikut: ~( p ˅ q) = ~p ˄ ~q
“Petani tidak panen beras dan harga beras tidak murah”
Jawaban ; D
3. 3. Ingkaran dari “beberapa” adalah “semua”
Ingkaran dari “ bilangan genap “ adalah “ bukan bilangan genap “
Jadi, ingkaran dari pernyataan di atas adalah: “ Semua bilangan prima bukan bilangan genap”
Jawaban ; B
4. 4. Misalkan:
p: Sebuah segitiga siku-siku
q: Salah satu sudutnya 90 derajat
r: Berlaku teorema Phytagoras
Maka soal di atas menjadi:
p ⇒ q
q ⇒ r
Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah: ~( p ⇒ r ) = p ˄ ~r
“Sebuah segitiga siku-siku dan tidak berlaku teorema Phytagoras”
Jawaban ; D
5. 5. Ingat rumus ini: Kontraposisi dari a ⇒ b adalah ~b ⇒ ~a
Pada soal, a = ( ~p ⇒ q ) dan b = ( ~p ˅ q )
~a = ~( ~p ⇒ q ) = ( ~p ˄ ~q )
~b = ~( ~p ˅ q ) = ( p ˄ ~q)
Jadi, kontraposisi dari ( ~p ⇒ q ) ⇒ ( ~p ˅ q ) adalah ( p ˄ ~q) ⇒ ( ~p ˄ ~q )
Jawaban ; E
D. konvers invers dan kontraposisi
Konvers, Invers dan Kontraposisi adalah suatu pernyataan Implikasi baru dari suatu pernyataan implikasi.
1. Konvers adalah perubahan dari satu sistem ke sitem yang lain. Pernyataan q=>p disebut Konvers dari p=>q.
2. Invers adalah Pembalikan suatu susunan dari suatu susunan yang lazim. Pernyataan ~p=>~q disebut Invers dari p=>q.
3. Pernyataan ~q=>~p disebut Kontraposisi dari p=>q.
nilai kebenaran Konvers, Invers dan Kontraposisi dari Implikasi:
p | q | Implikasi | Konvers | Invers | Kontraposisi |
| | p=>q | q=>p | ~p=>~q | ~q=>~p |
B | B | B | B | B | B |
B | S | S | B | B | S |
S | B | B | S | S | B |
S | S | B | B | B | B |
Dari tabel diatas diketahui Implikasi ekuvalen dengan kontra posisi atau biasa ditulis dengan
p=>q≡~q=>~p
Contoh soal
1. Tentukan ingkaran atau negasi dari implikasi: “Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih.”
2. Tentukan juga ingkaran dari konvers, invers, dan kontraposisi implikasi di atas.
Untuk menjawab pertanyaan tadi dan untuk menentukan negasi atau ingkaran konvers, invers, dan kontraposisi maka pengetahuan tentang negasi yang sudah dibahas di bagian depan sangat penting dan menentukan, terutama pengetahuan untuk menentukan negasi atau ingkaran soal nomor 1 s.d. 3 di bawah ini.
1. p ∧ q
2. p ∨ q
3. p ⇒ q
4. q ⇒ p
5. ~p ⇒ ~q
6. ~q ⇒ ~p
Sebagai pengecek, bandingkan hasil yang Anda dapatkan dengan jawaban dibawah ini.
1. ~p ∨ ~q
2. ~p ∧ ~q
3. p ∧ ~q
4. q ∧ ~p
5. ~p ∧ q
6. ~q ∧ p
Dengan demikian, ingkaran atau negasi dari implikasi “Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih.” adalah:
Ada atau terdapat bendera RI namun bendera tersebut tidak berwarna merah dan putih
2. Negasi atau ingkaran dari konvers, invers, dan kontraposisi suatu implikasi tadi berturut-turut adalah:
a. Negasi konvers: Ada bendera berwarna merah dan putih namun bendera tersebut bukan bendera RI.
b. Negasi invers: Ada bendera yang bukan bendera RI namun bendera tersebut
berwarna merah dan putih
c. Negasi kontraposisi: Ada bendera yang tidak berwarna merah dan putih namun bendera tersebut bendera RI
Dari pernyataan yang berupa implikasi p ⇒ q dapat dibuat pernyataan implikasi baru sbagai brikut:
(a) Pernyataan q ⇒ p disebut Konvers dari p ⇒ q
(b) Pernyataan ~p ⇒ ~q disebut Invers dari p ⇒ q
(c) Pernyataan ~q ⇒ ~p disebut Kontraposisi dari p ⇒ q.
Singkatnya:
Jika terdapat implikasi : p → q,
Konvers : q → p
Invers : ~p → ~q
Kontraposisi : ~q → ~p
Untuk melihat hubungan nilai kebenaran antara implikasi, konvers, invers dan kontraposisi perhatikanlah tabel kebenaran berikut :
p | q | Implikasi p ⇒ q | Konvers q ⇒ p | Invers ~p ⇒ ~q | Kontraposisi ~q ⇒ ~p |
B | B | B | B | B | B |
B | S | S | B | B | S |
S | B | B | S | S | B |
S | S | B | B | B | B |
Dari tabel di atas ternyata:
Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya atau ditulis
p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p
dengan kata lain jika implikasi bernilai benar maka kontraposi-sinya juga bernilai benar atau jika implikasi bernilai salah maka kontraposisinya juga bernilai salah.
Konvers suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya atau ditulis
q ⇒ p ≡ ~p ⇒ ~q .
Contoh:
Tentukanlah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:
(1) Jika harga bahan bakar minyak naik maka harga beras naik.
(2) Jika x > 6 maka x² ≥ 36
Penyelesaian:
Soal (1)
Konvers : Jika harga beras naik maka harga bahan bakar minyak naik.
Invers : Jika harga bahan bakar minyak tidak naik maka harga beras tidak naik.
Kontraposisi: Jika harga beras tidak naik maka harga bahan bakar minyak tidak naik.
Soal (2)
Tulis
p: jika x² &re; 36
q: x > 6.
Jadi ~p: x² < 36
~q: x ≤ 6.
Jadi konvers p ⇒ q ≡ q ⇒ p ≡ “jika x > 6 maka x² &re; 36”,
invers p ⇒ q ≡ ~p ⇒ ~q ≡ ”jika x² < 36 maka x ≤ 6”,
kontraposisi p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p ≡ “jika x ≤ 6 maka x² < 36”.
Soal (3)
Jika (p ∧ q)~ ⇒ r
Jelas konvers (p ∧ q)~ ⇒ r ≡ r ⇒ (p ∧ q),~
invers (p ∧ q)~ ⇒ r ≡ ~(p ∧ q)~ ⇒ r~ ≡ p~( ∨ q) ⇒ r,~
kontraposisi (p ∧ q)~ ⇒ r ≡ r~ ⇒ ~(p ∧ q)~ ≡ r~ ⇒ (~p ∨ q).
E. Pernyataan Kuantor Dan Bentuk Ekuivalen
a. Pernyataan Kauntor
1. Kuantor umum (universal)
· Simbol kuantor universal ∀
· Dibaca “untuk setiap/tidak ada/semua”
2. Kuantor khusus (Eksistensial)
· Simbol kuantor eksistensial ∃
· Dibaca “sebagian/ada/beberapa”
b. Negasi Pernyataan Kuantor
· ~[∀(x)P(X)] ≡ ∃(X), [~P(X)]
· ~[∃(X)P(X)] ≡ ∀(X), [~P(X)]
c. Bentuk Ekuivalen
· P ⇒ Q ≡ ~q ⇒ ≡ ~P ∧ q
· ~(p∨q) ≡ ~P ∧~q
· ~(p∧q) ≡ ~P ∨~q
· ~(p⇒q) ≡ P ∧~q
· ~(p↔q) ≡ P ↔~q ≡ ~P ↔ q
