matematika trigonometri

TRIGONOMETRI

PENGALAMAN

Halo teman,Perkenalkan saya Rian Prasetya, saya berasal dari SMAN 63 JAKARTA. saya akan menceritakan pengalaman saya saat belajar matematika. jujur awal masuk saya di SMA saya sama sekali tidak bisa belajar matematika saya tidak pernah mengerti, karena pelajaran di SMP dengan SMA itu sangat beda jauh . tetapi saya tidak pernah berhenti untuk mencoba mengikuti pembelajaran baru saya perlahan lahan mencoba untuk beradaptasi dan sekarang saya sudah mulai mengerti pembelajaran trigonometri meskipun tidak sepandai teman teman saya. tetapi saya akan selalu berusaha  untuk mempelajarinya

 

PEMBAHASAN TRIGONOMETRI

Trigonometri adalah ilmu matematika yang mempelajari tentang sudut, sisi, dan perbandingan antara sudut terhadap sisi. Dasarnya menggunakan bangun datar segitiga. Hal ini karena arti dari kata trigonometri sendiri yang dalam bahasa Yunani yang berarti ukuran-ukuran dalam sudut tiga atau segitiga. 

A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA

Dengan gambar segitiga diatas, nilai Sinus, Cosinus dan Tangent diperoleh dengan cara sebagai berikut:

, sehingga bisa dihapal dengan sebutan sin-de-mi.

, sehingga bisa dihapal dengan sebutan cos-sa-mi.

, sehingga bisa dihapal dengan sebutan tan-de-sa.

.

.

.

B. SUDUT ISTIMEWA

C. KUADRAN TRIGONOMETRI

D. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

3.7 Menyelesaikan cara merubah satuan pengukuran sudut trigonometri 

radian ke derajat, derajat ke radian

Radian ke Derajat

1.$\frac{\pi }{3}$ rad = ... °
2. 4π rad = ... °

Karena 1 rad = $\frac{{180}^{\circ }}{\pi }$, untuk mengubah x radian ke derajat dapat mengalikan x dengan $\frac{{180}^{\circ }}{\pi }$, ditulis$$xrad=x\cdot \frac{{180}^{\circ }}{\pi }$$

Penyelesaian:

1.  $\frac{\pi }{3}$ rad  =  $\frac{\pi }{3}$ . $\frac{{180}^{\circ }}{\pi }$  =  60°
2.  4π rad  =  4π . $\frac{{180}^{\circ }}{\pi }$  =  720°

Derajat ke Radian

1. 30° = ... rad

2. 270° = ... rad

Karena 1° = $\frac{\pi }{180}$ rad, untuk mengubah x derajat ke radian dapat dilakukan mengalikan x dengan $\frac{\pi }{180}$ rad, ditulis$$x^{\circ }=x\cdot \frac{\pi }{180}rad$$

Penyelesaian:

1.  30°  =  30 . $\frac{\pi }{180}$ rad  =  $\frac{\pi }{6}$ rad
2.  270°  =  270 . $\frac{\pi }{180}$ rad  =  $\frac{3\pi }{2}$ rad

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku dan dudut istimewa (60⁰ , 30⁰ , 45⁰ )

1. Perhatikan gambar berikut!

Nilai $\cos \alpha$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian:Dengan Teorema Pythagoras, panjang $c=AB$ 
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=\sqrt{4}=2$
Cosinus sudut adalah perbandingan antara panjang sisi samping sudut terhadap hipotenusa (sisi miring) segitiga siku-siku.

$\cos \alpha =\frac{b}{c}=\frac{1}{2}$

$\mathrm{cotA=37mopninnkn}$

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku di dalam koordinat kartesius

1. Perhatikan gambar berikut!

Nilai $\cos \alpha$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian:  

$\mathrm{Panjang O}A=r$ merupakan panjang hipotenusa suatu segitiga siku-siku yang sisinya pada sumbu koordinat, sehingga dengan Teorema Pythagoras, diperoleh

$\begin{array}{cc}OA=r& =\sqrt{(-6{)}^2+8^2}\\ & =\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\end{array}$

Karena $\alpha$ berada di kuadran II, maka cosinus sudut alfa bernilai negatif, sehingga

$\cos \alpha =-\frac{x}{r}=-\frac{6}{10}=-\frac{3}{5}$

Jadi, nilai $\cos \alpha =-\frac{3}{5}$ 

3.8 Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana atau persamaan indentitas trigonometri = rumus identitas trigonometri

1. Nilai x yang memenuhi persamaan sin x 1/2 √3 persamaan trigono untuk  0° ≤ x ≤ 360° adalah...

Penyelesaian:   

Kemungkinan 1x=60°+k.360°

untuk k=0 ,diperoleh x=60° (benar)

untuk k=1 ,diperoleh x=420° (salah)

Kemungkinan 2x=(180°-60°) + k.360°

x=120° + k.360°

untuk k=0 ,diperoleh x=120° (benar)

untuk k=1 ,diperoleh x=480° (salah)

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan tersebut bila dinyatakan dalam notasi himpunan adalah {60°,120°}.

2. Nilai dari: 2 cos 75° cos 15° adalah...

Penyelesaian:

 2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)°

            = cos 90° + cos 60°

            = 0 + ½

            = ½

3.8 Menyelesaikan Koordinat kutub ke koordinat kartesius, koordinat kartesius ke koordinat kutub

1. Jika diketahui koordinat kutub (6√3, 60°), maka koordinat kartesiusnya adalah.....

Pembahasan :
koordinat kutub ⇒ koordinat kartesius
 (r , α) ⇒ ( x , y )   
r = 6√3 ;         α = 60°
(Karena α sudut di kuadran I, maka x positif f dan y positif)
x = r cos α
⇒ 6√3 x cos 60°
⇒ 6√3 x 1/2
⇒ 3√3

y = r sin α
⇒ 6√3 x sin 60°
⇒ 6√3 x 1/2 √3
⇒ 3 x 3
⇒ 9
sehingga koordinat kartesiusnya ialah ( 3√3 , 9)  

3.8 Menyelesaikan soal cerita perbandingan trigonometri

1. Sebuah kapal berlayar dari Pelabuhan A ke Pelabuhan B sejauh 

$200$ mil dengan arah ${35}^{\circ }$. Dari Pelabuhan B, kapal itu berlayar sejauh 

$300$ mil menuju Pelabuhan C dengan arah ${155}^{\circ }$. Jarak antara Pelabuhan A ke Pelabuhan C adalah $\cdots$ mil.

Penyelesaian: 

(Titik awal penarikan sudut selalu dimulai dari bagian sumbu-$X$ positif)
Panjang $AC$ selanjutnya dapat ditentukan dengan menggunakan Aturan Cosinus. 
$\begin{array}{cc}A{C}^2& =A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos {60}^{\circ }\\ A{C}^2& =(200{)}^2+(300{)}^2-2\cdot 200\cdot 300\cdot \frac{1}{2}\\ A{C}^2& =40.000+90.000-60.000\\ A{C}^2& =70.000\\ AC& =\sqrt{70.000}=100\sqrt{7}\end{array}$
Jadi, jarak antara Pelabuhan A ke Pelabuhan C adalah 100√7 mil.

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 2 sudut dan 1 sisi

1. △ ABC dengan panjang sisi a = 4 cm , ∠A = 120° , dan ∠B = 30°. Panjang sisi c...

jawab :

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sisi

1. Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a dan b berturut-turut 5 cm dan 6 cm. Jika besar sudut C adalah 52° , maka panjang sisi c adalah ....

Penyelesaian :
Berdasarkan aturan cosinus :
⇒ c = a2 + b2 – 2ab cos C
⇒ c2 = 52 + 62 – 2 (5)(6) cos 52°
⇒ c2 = 25 + 36 – 60 (0,615)
⇒ c2 = 61 – 36,9
⇒ c2 = 24,1
⇒ c = 4,9 cm
Jadi, panjang sisi c adalah 4,9 cm.

3.9 Menyelesaikan Luas segitiga jika diketahui: 1 sudut 2 sisi, 3 sisi, 2 sudut 1 sisi

1. Tentukan nilai x ?

Penyelesaian:

X² = 3² + 8² - 2.3.8.Cos 60°

X²  = 9 + 64 - 2.24.½

X² = 73 -24 = 49

X  = √49 

     = 7 cm