soal trigonometri remedial PAT

Nama : Rian Prasetya

Kelas : X IPS 3

1. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x =  ½ ….

A. HP = {60o,420o}

B. HP = {60o,300o}

C. HP = {30o,360o}

D. HP = {30o,120o}

E. HP = {-60o,120o}

Pembahasan : 

Jawaban : B

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin x = sin 2/10 π, 0 ≤ x ≤ 2π …..

Pembahasan : 

Jawaban : C

3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin x = 1 , dengan 0o ≤ x ≤ 360o …..

A. HP = {30o,390o}

B. HP = {150o,510o}

C. HP = {60o,390o}

D. HP = {30o,150o}

E. HP = {30o,60o}

Pembahasan : 

Jawaban : D

4.  Untuk 0 ≤ x ≤ 2 π, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan tan (2x – ¼π) = ¼π , …..

Pembahasan : 

Jawaban : E

5. Diketahui fungsi . Jika nilai maksimum f(x) adalah a dan nilai minimum f(x) adalah b maka nilai a2 + b2 = ….

  A.       3

  B.       6

  C.       12

  D.       18

  E.       36

Pembahasan:

Diketahui fungsi f(x):

  

Ingat bahwa nilai maksimum fungsi cosinus adalah 1 dan nilai minimum fungsi cosinus adalah – 1 .

Nilai maksimum = a, maka

  

  

Nilai minimum = b, maka

  

  

Jadi, nilai a2 + b2 adalah

  

  

  

  

Jawaban: B

6. Perhatikan grafik di bawah!

Persamaan fungsi trigonometri yang sesuai pada grafik di atas adalah ….

  

  

  

  

  

Pembahasan:

Grafik fungsi trigonometri merupakan bentuk grafik fungsi sinus. Persamaan umum grafik fungsi trigonometri untuk fungsi sinus adalah:

  

Menghitung banyaknya gelombang dalam 1 periode (k):

Berdasarkan informasi grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal, diketahui bahwa pada rentang  sampai dengan  memuat setengah periode.

  

  

  

  

Jadi banyaknya gelombang dalam satu periode adalah 1 (k = 1).

Mencari nilai Amplitudo (A): nilai tertinggi yang dapat dicapai grafik fungsi trigonometri adalah 2 atau – 2 , sehingga nilai amplitudonya sama dengan 2 (A = 2).

Grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal bergeser sejauh  ke arah kiri, sehingga persamaan akan mendapat tambahan + .

Jadi, persamaan grafik fungsi trigonometri yang sesuai dengan soal adalah:

  

  

Jawaban: A

7.  Diketahui suatu taman di tengah kota berbentuk segitiga sembarang. Jika sudut apit sebesar 60o dan dua sisi yang mengapitnya masing-masing panjangnya 18 meter dan 16 meter, maka luas taman tersebut adalah ….

  

  

  

  

  

Pembahasan:

Untuk menentukan luas segitiga sembarang yang diketahui panjang dua sisi dan sudut antara kedua sisi tersebut dapat memanfaatkan fungsi sinus.

  

  

  

Jawaban: C

8. Di sebuah museum terdapat miniatur piramida berbentuk limas segiempat beraturan. Dari data museum diketahui panjang rusuk tegak piramida 4 meter dan membentuk sudut 30o di puncaknya. Luas satu sisi tegak piramida tersebut adalah ….

  A.       40 dm2

  B.       80 dm2

  C.       400 dm2

  D.       800 dm2

  E.       4.000 dm2

Pembahasan:

Perhatikan gambar di bawah!

Jadi, luas satu sisi tegak piramida tersebut adalah

  

  

  

Jawaban: C

9. Diketahui A dan B adalah titik-titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut ACB = . Jika jarak CB = p meter dan  meter, maka panjang terowongan adalah ….

  

  

  

  

  

Pembahasan:

Perhatikan gambar di bawah!

Panjang terowongan dicari dengan aturan cosinus:

Jawaban: A

10. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B sejauh 60 mil dengan arah  dari A, kemudian berputar haluan dilanjutkan ke pelabuhan C sejauh 90 mil dengan arah  dari B. Jarak terdekat dari pelabuhan A ke C adalah ….

  

  

  

  

  

Pembahasan:

Perhatikan gambar di bawah!

Jarak terdekat dari pelabuhan A ke C dapat dicari dengan aturan cosinus:

Jadi, jarak terdekat dari pelabuhan A ke C adalah  mil.

Jawaban: C

11. Besar sudut yang sesuai dengan gambar di bawah adalah $\cdots \cdot$

A. ${30}^{\circ }$                 C. ${300}^{\circ }$                     E. ${390}^{\circ }$            
B. ${60}^{\circ }$                 D. ${330}^{\circ }$    
Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam, sehingga tandanya negatif, yakni $-{30}^{\circ }$.
Karena satu putaran sama dengan ${360}^{\circ }$, maka $-{30}^{\circ }$ sama dengan $(360-30{)}^{\circ }={330}^{\circ }$
Jadi, besar sudutnya adalah ${330}^{\circ }$
(Jawaban D)

12. Perhatikan gambar di bawah.

Segitiga $ABC$ siku-siku di $C$. Pernyataan berikut ini benar, kecuali $\cdots \cdot$
A. $\sin \alpha =\frac{BC}{AB}$                D. $\cos \beta =\frac{BC}{AC}$
B. $\sin \beta =\frac{AC}{AB}$                 E. $\tan \alpha =\frac{BC}{AC}$

C. $\cos \alpha =\frac{AC}{AB}$

Berdasarkan gambar di atas, perbandingan trigonometri untuk sinus, cosinus, dan tangen dari sudut $\alpha$ dan $\beta$ adalah sebagai berikut.
$\begin{array}{cc}\sin \alpha & =\frac{\text{de}}{\text{mi}}=\frac{BC}{AB}\\ \cos \alpha & =\frac{\text{sa}}{\text{mi}}=\frac{AC}{AB}\\ \tan \alpha & =\frac{\text{de}}{\text{sa}}=\frac{BC}{AC}\\ \sin \beta & =\frac{\text{de}}{\text{mi}}=\frac{AC}{AB}\\ \cos \beta & =\frac{\text{sa}}{\text{mi}}=\frac{BC}{AB}\\ \tan \beta & =\frac{\text{de}}{\text{sa}}=\frac{AC}{BC}\end{array}$
Jadi, dari kelima pernyataan (pilihan) yang diberikan, pernyataan yang salah ada pada pilihan jawaban D.

 13. Perhatikan gambar berikut!

Nilai $\cos \alpha$ adalah $\cdots \cdot$
A. 1                         C. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$                  E. $\frac{1}{3}\sqrt{3}$
B. $\sqrt{3}$                     D. $\frac{1}{2}$      

Dengan Teorema Pythagoras, panjang $c=AB$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=\sqrt{4}=2$
Cosinus sudut adalah perbandingan antara panjang sisi samping sudut terhadap hipotenusa (sisi miring) segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\cos \alpha =\frac{b}{c}=\frac{1}{2}$
(Jawaban D)

14. Diketahui koordinat titik $A(-2\sqrt{2},-2\sqrt{2})$. Koordinat kutub dari titik $A$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(4,{210}^{\circ })$                 D. $(5,{240}^{\circ })$ 
B. $(2,{240}^{\circ })$                 E. $(4,{225}^{\circ })$
C. $(2,{225}^{\circ })$

Diketahui: $x=y=-2\sqrt{2}$
Koordinat kutubnya berbentuk $(r,\theta )$, dengan
$\begin{array}{cc}r& =\sqrt{x^2+y^2}\\ & =\sqrt{(-2\sqrt{2}{)}^2+(-2\sqrt{2}{)}^2}\\ & =\sqrt{8+8}=4\end{array}$
dan
$\begin{array}{cc}& \tan \theta =\frac{y}{x}=\frac{-2\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}}=1\\ & \Rightarrow \theta ={45}^{\circ }\vee {225}^{\circ }\end{array}$
Karena titik $A$ berada di kuadran III (nilai $x$ dan $y$ negatif), maka $\theta ={225}^{\circ }$. 
Jadi, koordinat kutub dari $A(-2\sqrt{2},-2\sqrt{2})$ adalah $(4,{225}^{\circ })$
(Jawaban E)

 15. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x =  ½ …..

A. HP = {30o,120o}

B. HP = {30o,390o}

C. HP = {30o,480o}

D. HP = {120o,480o}

E. HP = {390o,480o}

Pembahasan : 

(Jawaban : A)

16. Diketahui segitiga 

$PQR$ memiliki koordinat $P(-3,2),Q(-3,-2)$, dan $R(3,2)$. Nilai $\frac{3\sec R}{\csc Q}=\cdots \cdot$
A. $1$                  C. $3$                      E. $2\sqrt{13}$
B. $2$                  D. $\sqrt{13}$         

Pertama, sketsakan segitiga $KLM$ pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.

Tampak bahwa segitiga $PQR$ merupakan segitiga siku-siku (di $P$).
Tanpa menganalisis lebih jauh mengenai panjang sisi segitiga $PQR$, kita sebenarnya dapat langsung menghitung nilai dari $\frac{3\sec R}{\csc Q}$ seperti berikut dengan mengingat bahwa secan merupakan kebalikan dari cosinus (mi/sa), sedangkan cosecan merupakan kebalikan dari sinus (mi/de).
$\frac{3\sec R}{\csc Q}=\frac{3\times \frac{QR}{PR}}{\frac{QR}{PR}}=3$
(Jawaban C)

17. Diketahui $P$ sudut lancip. Jika $\tan P=\frac{5\sqrt{11}}{11}$, maka nilai $\sin P=\cdots \cdot$
A. $\frac{5}{\sqrt{11}}$                               D. $\frac{\sqrt{11}}{5}$
B. $\frac{6}{\sqrt{11}}$                               E. $\frac{\sqrt{11}}{6}$
C. $\frac{5}{6}$

Karena $P$ sudut lancip, maka nilai seluruh perbandingan trigonometri bertanda positif.
Tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\tan P=\frac{5\sqrt{11}}{11}=\frac{\text{de}}{\text{sa}}$
Misalkan $\text{de}=5\sqrt{11}$ dan $\text{sa}=11$, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh panjang sisi miring, yaitu
$\begin{array}{cc}\text{mi}& =\sqrt{(\text{de}{)}^2+(\text{sa}{)}^2}\\ & =\sqrt{(5\sqrt{11}{)}^2+(11{)}^2}\\ & =\sqrt{275+121}\\ & =\sqrt{396}\\ & =\sqrt{36\times 11}=6\sqrt{11}\end{array}$
Sinus sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\sin P=\frac{\text{de}}{\text{mi}}=\frac{5\sqrt{11}}{6\sqrt{11}}=\frac{5}{6}$
Jadi, nilai $\sin P=\frac{5}{6}$
(Jawaban C)

18. Diketahui 

$△ABC$ siku-siku di $C$. Jika $\sin B=p$, maka nilai $\tan B=\cdots \cdot$
A. $\frac{p}{\sqrt{1-p^2}}$                              D. $\frac{p}{\sqrt{p^2-1}}$
B. $\frac{1}{\sqrt{1-p^2}}$                              E. $\frac{\sqrt{1-p^2}}{p}$
C. $\frac{1}{\sqrt{p^2-1}}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar segitiga siku-siku $ABC$ berikut.

Karena $\sin B=p=\frac{p}{1}=\frac{AC}{AB}$, maka dapat dimisalkan bahwa $AC=p$ dan $AB=1$, sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{array}{cc}BC& =\sqrt{A{B}^2-A{C}^2}\\ & =\sqrt{(1{)}^2-p^2}\\ & =\sqrt{1-p^2}\end{array}$
Dengan demikian,
$\tan B=\frac{\text{de}}{\text{sa}}=\frac{AC}{BC}=\frac{p}{\sqrt{1-p^2}}$
Jadi, nilai $\tan B=\frac{p}{\sqrt{1-p^2}}$
(Jawaban A)

Perhatikan 

$△KLM$ di bawah!

Jika $\cos K=\frac{1}{a}$, maka nilai $\sin K\tan K=\cdots \cdot$
A. $\frac{a^2+1}{a}$                             D. $\frac{a}{a^2+1}$
B. $\frac{a^2-1}{a}$                              E. $\frac{a^2-1}{a^2+1}$
C. $\frac{a}{a^2-1}$

Pembahasan

Cosinus sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\cos K=\frac{1}{a}=\frac{KL}{KM}$
Misalkan $KL=1$ dan $KM=a$, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{array}{cc}LM& =\sqrt{K{M}^2-K{L}^2}\\ & =\sqrt{a^2-(1{)}^2}=\sqrt{a^2-1}\end{array}$
Sinus sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku, sedangkan tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\begin{array}{cc}\sin K\tan K& =\frac{LM}{KM}\times \frac{LM}{KL}\\ & =\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}\times \frac{\sqrt{a^2-1}}{1}\\ & =\frac{a^2-1}{a}\end{array}$
Jadi, nilai $\sin K\tan K=\frac{a^2-1}{a}$
(Jawaban B)

20. Berdasarkan gambar di bawah, jika $\cos \theta =\frac{2}{3}$, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$

A. $3\sqrt{5}$                                 D. $6\sqrt{5}$
B. $4\sqrt{5}$                                 E. $7\sqrt{5}$
C. $5\sqrt{5}$

Pembahasan

Tanpa memperhatikan gambar segitiga siku-siku yang diberikan, panjang sisi depan sudut $\theta$ dapat dihitung dengan menggunakan Teorema Pythagoras.
Dalam hal ini, karena $\cos \theta =\frac{2}{3}$, maka dimisalkan $\text{sa}=2$ dan $\text{mi}=3$, sehingga
$\text{de}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$
Dengan demikian,
$\sin \theta =\frac{\text{de}}{\text{mi}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
Berdasarkan gambar yang diberikan, haruslah $\sin \theta =\frac{5}{x}$. Akibatnya,
$\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{5}{x}\iff \frac{5}{3\sqrt{5}}=\frac{5}{x}$
Jadi, nilai $x$ adalah $3\sqrt{5}$
(Jawaban A)